الاحتمالات

الإحتمال كلمة شائعة منتشرة جداً نعبر بها عن حدوثه في المستقبل 

مثل :- هل ستمطر اليوم ؟ هل سيفوز النادي س في المباراة ؟ هل تُقبل أوراق الطالب ص في الكلية ع ؟

والإجابات /// تكون ...ممكن ، احتمال ، محتمل ، ربما ، يجوز / متوقع.

مع الدرس

تعريف الإحتمال

هو التنبؤ (التوقع) بما يمكن حدوثه (وقوعه)

في المستقبل.

* أنواع الإحتمال

أولاً :- الإحتمال التجريبي

وهو الاحتمال الناتج عن تجربة ما عملياً

(الإحتمال العملي)

مثال / القاء قطعة نقود أو حجر نرد أو القُرص الدَّوَّار

الاحتمال العملي =  عدد مرات ظهور الحدث

                              عدد الناتج الكلى 

مثال 1 القاء قطعة نقود 100 مرة وتسجيل البيانات

← إذا ظهرت الصورة 65 مرة وظهرت الكتابة 35 مرة فإن احتمال ظهور صورة = ............

، احتمال ظهور كتابة = ...................

مثال 2 عند القاء حجر النرد (زهر الطاولة)

60 مرة وملاحظة العدد الظاهر وتسجيل

البيانات. اكتب القوانين اللازمة لحساب ما يلي

1- احتمال ظهور الرقم 3

2- احتمال ظهور عدد زوجي

3- احتمال ظهور عدد فردي

4- احتمال ظهور عدد يقبل القسمة ÷ 3

5- احتمال ظهور عدد أولى

6- احتمال ظهور عدد أكبر من 6

7- احتمال ظهور عدد أقل من 7

8- احتمال ظهور عدد زوجي أولي

ثانياً :- الاحتمال النظري

ويستخدم عندما يكون لجميع النواتج نفس فرصة الحدوث ، وجميع النواتج تكون معروفة مسبقاً دون اجراء التجربة.

أمثلة

(1) عند إلقاء قطعة نقود تكون جميع النواتج الممكنة هي صورة أو كتابة

ف (فضاء العينة) = {ص (صورة) ، ك (كتابة)}

وهو مجموعة جميع النواتج الممكنة للتجربة

(2) عند القاء حجر نرد (زهر الطاولة)

ف = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}

الحدث : هو مجموعة جزئية من فضاء العينة

مثال 1 : حدث ظهور صورة  ←  = {ص}

مثال 2 : حدث ظهور عدد زوجي ب

← ب = {2 ، 4 ، 6}

# احتمال الحدث  ←  

# احتمال الحدث ب ← ل(ب)

 

# إذا كان  = ف (حدث مؤكد)

# إذا كان  = صفر (حدث مستحيل)

# إذا كان  ف (حدث ممكن)

صفر ≤ احتمال أي حدث ≤ 1

# احتمال الحدث المؤكد .........

# احتمال الحدث المستحيل .........

# إذا ساوى عدد عناصر الحدث عدد عناصر ف فإن احتمال هذا الحدث يساوي .........

# إذا كان احتمال نجاح طالب 0,93 فإن احتمال رسوبه .........

# إذا كان احتمال مكسب ما  فإن احتمال الخسارة .........

# إذا كان احتمال وقوع الحدث س هو  وكانت ن(ف) = 18 فإن ن(س) = .........

تمارين على الاحتمالات

مثال 1 : في تجربة إلقاء قطعة نقود معدنية ومشاهدة ما يظهر .... أوجد احتمال ظهور كتابة.

مثال 2 : عند إلقاء حجر نرد منتظم وملاحظة الوجه الظاهر ، أوجد الاحتمالات الآتية :- ظهور

1- عدد زوجي                 2- عدد فردي

3- عدد أولي                   4- عدد أصغر من 2

5- عدد زوجي أولي 6- عدد يقبل القسمة على 7            

7- عدد يحقق المتباينة س ≥ 5 : س ∊ ط

8- عدد يحقق المتباينة س < 1 : س ∊ ن

مثال 3 : صندوق به 5 كرات حمراء ، 8 كرات بيضاء ، 7 كرات صفراء ، متماثلة الحجم والملمس سُحبت منه كرة عشوائياً فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة

1- بيضاء                        2- سوداء

3- ليست صفراء            4- حمراء أو بيضاء أو صفراء

مثال 4 : مجموعة من البطاقات مرقمة من

1 ← 50 سُحبت بطاقة عشوائياً فما احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة :

1- عدداً أولياً

2- عدداً من مضاعفات 10

3- عدداً زوجياً أولياً

4- عدداً زوجياً يقبل القسمة على 5

5- عدداً رقم آحاده نصف رقم عشراته

مثال 5 : فصل دراسي به 40 تلميذاً نجح منهم 38 تلميذاً في الرياضيات ، 36 تلميذاً في العلوم ، 32 تلميذاً في الإمتحانين معاً. فإذا اختير تلميذاً عشوائياً. أوجد احتمال أن يكون

1- ناجحاً في الرياضيات      2- راسباً في العلوم

3- ناجحاً في العلوم        4- راسباً في المادتين

مثال 6 : من مجموعة الأرقام {2 ، 3 ، 5} كوّن عدداً من رقمين .. فما احتمال كل من الأحداث الآتية :-

1- أنَّ رقم العشرات فردياً

2- أنَّ رقم الآحاد فرديًّا

3- أنَّ مجموع الرقمين 7

4- أنَّ حاصل ضرب الرقمين 15

مثال 7 : كيس به عدد من الكرات المتساوية منهم 2 أخضر ، 4 أزرق ، الباقي أحمر ، فإذا كان احتمال سحب كرة من اللون الأخضر هو ( ) أوجد عدد الكرات الحمراء

مثال 8 : إذا كان احتمال نجاح طالب في مادة هو  فأوجد احتمال رسوبه فيها ، وإذا كان احتمال رسوبه في مادة اخرى هو  فأوجد احتمال نجاحه فيها ، قارن بين احتمالي النجاح في كلتا المادتين